整除性

  • 如果一个数的最后一位数是偶数,那么这个数可以被 22 整除
  • 如果一个数所有位值的数视为个位相加,结果可以被 33 整除,那么这个数就可以被 33 整除
    • 3+8+6+8+0+2=273+8+6+8+0+2 = 27
    • 2+7=92+7 =9(还可以像这样简化)
  • 如果一个数的最后两位数,可以被 44 整除,那么这个数就可以被 44 整除
  • 如果一个数的最后一位数是 55 或者 00,那么这个数可以被 55 整除
    • 每个 55 的倍数其个位都是 5500
  • 如果一个数同时可以被 2233 整除,那么这个数就可以被 66 整除
    • 23=62 \cdot 3 = 6
  • 如果一个数所有位值的数视为个位相加,结果可以被 99 整除,那么这个数就可以被 99 整除
    • 如果一个数可以被 99 整除,那么意味着它可以被 33 整除两次
      • 9=339 = 3 \cdot 3
    • 2+9+4+3=182+9+4+3 = 18
      • 1+8=91+8=9 (像 33 一样可以这样简化)
  • 如果一个数的做最后一位数是 00 那么这个数就可以被 1010 整除

3 的整除原理

  • 386802=3(1+99999)+8(1+9999)+6(1+999)+8(1+99)+2386802 = 3(1+99999) + 8(1+9999) + 6(1+999) + 8(1+99)+ 2(位值制)
    • 3+399999+8+89999+6+6999+8+899+23+ 3 \cdot 99999 + 8 + 8 \cdot 9999 + 6 + 6 \cdot 999 + 8 + 8 \cdot 99 +2(分配)
    • 399999+89999+6999+899+3+8+6+8+23 \cdot 99999 + 8 \cdot 9999 + 6 \cdot 999 + 8 \cdot 99 + 3 + 8 + 6 + 8 +2(整理)
      • 显然这个式子的乘法部分都是 33 的倍数,这意味着可以被 33 整除
    • 399999+89999+6999+899+273 \cdot 99999 + 8 \cdot 9999 + 6 \cdot 999 + 8 \cdot 99 + 27(合并)
      • 显然这个式子的所有部分都可以被 33 整除,这意味着它的结果也可以被 33 整除

9 的整除原理

  • 386802=3(1+99999)+8(1+9999)+6(1+999)+8(1+99)+2386802 = 3(1+99999) + 8(1+9999) + 6(1+999) + 8(1+99)+ 2(位值制)
    • 3+399999+8+89999+6+6999+8+899+23+ 3 \cdot 99999 + 8 + 8 \cdot 9999 + 6 + 6 \cdot 999 + 8 + 8 \cdot 99 +2(分配)
    • 399999+89999+6999+899+3+8+6+8+23 \cdot 99999 + 8 \cdot 9999 + 6 \cdot 999 + 8 \cdot 99 + 3 + 8 + 6 + 8 +2(整理)
      • 显然这个式子的乘法部分都是 99 的倍数,这意味着可以被 99 整除
    • 399999+89999+6999+899+273 \cdot 99999 + 8 \cdot 9999 + 6 \cdot 999 + 8 \cdot 99 + 27(合并)
      • 显然这个式子的所有部分都可以被 99 整除,这意味着它的结果也可以被 99 整除

因数与因数对(Factor Pairs)

  • 如果 ab=cab=c,那么 aabb 就是 cc 的因数
  • 一个因数对指两个因数的集合,将它们相乘可以得出特定的乘积
  • 如果 ab=cab=c,那么 aabb 就是 cc 的因数对
  • 所有数都有其本身和 11 作为因数

找所有因数

  • 通过除法从 11 开始找因数,并将已找到的因数排序,直至重复时停止

120120

  • 1120,{1,120}1 \cdot 120,\{1,120\}(集合升序排列)
  • 260,{1,2,60,120}2 \cdot 60,\{1,2,60,120 \}
  • 340,{1,2,3,40,60,120}3 \cdot 40,\{1,2,3,40,60,120 \}
  • 430,{1,2,3,4,30,40,60,120}4 \cdot 30,\{1,2,3,4,30,40,60,120 \}
  • 524,{1,2,3,4,5,24,30,40,60,120}5 \cdot 24,\{1,2,3,4,5,24,30,40,60,120 \}
  • 620,{1,2,3,4,5,6,20,24,30,40,60,120}6 \cdot 20,\{1,2,3,4,5,6,20,24,30,40,60,120 \}
  • 815,{1,2,3,4,5,6,8,15,20,24,30,40,60,120}8 \cdot 15,\{1,2,3,4,5,6,8,15,20,24,30,40,60,120 \}
  • 1012,{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120}10 \cdot 12,\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120 \}
  • 15815 \cdot 8

倍数

  • 倍数是一个数乘以另一个数的结果
    • an=man=m 则称 mmaa 的倍数
  • 确定一个数是否为另一个数的倍数,只需除以这个数,无余即是
  • xx 的最小倍数是 xx 本身

素数(或称质数)

  • 大于 11 的自然数中,只能被其本身和 11 的数
  • 质数只有两个因数,且这两个因数正好是 11 和它本身
  • 22 是唯一的偶数且数质数的数

合数

  • 与质数相对,合数指在大于 11 的自然数中,除了它本身和 11 还可以被其它数整除的数
  • 与质数相对,合数拥有两个以上的因数

质因数分解

  • 质因数分解的含义是找出哪些质数相乘的积是原来的数

塔形分解

质因数与整除性

  • 如果一个数可以同时被 xxyy 整除,那么它同时也可以被它们的所有质因数整除

最小公倍数

  • 表示方法
    • lcm(x,y,...)=zlcm(x,y,...) = z

质因数分解求最小公倍数

质因数分解组合

  • 将需要求最小公倍数的数分解为质因数相乘形式
  • 将所有式子合并
  • 计算结果即可得出最小公倍数

最大公因数

  • 两个或以上的数的最大公因数指它们可以整除的最大数
  • 表示方法
    • gcd(x,y,z,...)gcd(x,y,z,...)

寻找最大公因数

  • 将需要求最大公因数的数分解为质因数形式
  • 寻找所有共同的质因数,并相乘
    • 如果只有一个共同质因数则取其作为最大公因数
    • 如果都没有则最大公因数为 11
      • 当两个数的最大公因数为 11 的时,它们还被称为互质数

相同质因数无法相乘情形

相同质因数可以相乘