位值制

十进制

  • xT,T={xZ:0x9}x \in T, T = \{x \in Z:0 \leq x \leq 9 \}
  • 个位 xx
  • 十位 x10,101=10x \cdot 10,10^1=10
  • 百位 x100,102=100x \cdot 100,10^2=100
  • 千位 x1000,103=1000x \cdot 1000,10^3=1000
  • 万位 x10000,104=10000x \cdot 10000,10^4=10000
  • 十万位 x100000,105=100000x \cdot 100000,10^5=100000

二进制的十进制值

  • xB,B={xZ:0x1}x \in B, B= \{x \in Z : 0 \leq x \leq 1 \}
  • 个位 xx
  • 二位 x2,21=2x \cdot 2,2^1=2
  • 四位 x4,22=4x \cdot 4,2^2=4
  • 八位 x8,23=8x \cdot 8,2^3=8
  • 十六位 x16,24=16x \cdot 16,2^4=16
  • 三十二位 x32,25=32x \cdot 32,2^5=32

书写数的展开形式与标准形式

  • 标准形式 125,416125,416
    • 展开形式 $100000 + 20000 + 5000 + 400 + 10 +6 $
  • 展开形式 600000+40000+1000+800+20+8600000 + 40000 + 1000 + 800 + 20 + 8
    • 标准形式 641,828641,828

乘 10 规律

  • 一个数与 1010 相乘,则进一位
  • 1010 每增加一个零,则相乘时继续进一位
    • 210=202 \cdot 10 =20
    • 2100=2002 \cdot 100 = 200
    • 270002 \cdot 7000
      • 1000271000 \cdot 2 \cdot 7
      • 1000141000 \cdot 14
      • 1400014000
    • 200092000 \cdot 9
      • 1000291000 \cdot 2 \cdot 9
      • 1000181000 \cdot 18
      • 1800018000

除以 10 规律

  • 与乘以 1010 相反,为退一位
  • 56000÷10=560056000 \div 10 = 5600
  • 5600÷100=565600 \div 100 = 56
  • 56÷10=5.656 \div 10 = 5.6
  • 5.6÷10=0.565.6 \div 10 = 0.56
  • 0.56÷100=0.00560.56 \div 100 = 0.0056

四舍五入

  • 当目标位值的前一位值大于或等于五时,目标位值加一,剩余位值归零
    • 四舍五入百位:982=1000,900+100=1000982 = 1000, 900+100=1000
    • 四舍五入千位:3,942,588=3,943,0003,942,588 = 3,943,000
  • 反之,如果小于或等于四,目标位值不变,剩余位值归零
    • 四舍五入十位:345=340345 = 340

整数重组

430

百位 十位 个位
4 3 0
3 13 0
2 23 0
1 33 0

四则运算顺序

  • 非全部同号则从左到右
    • 括号内
    • 指数
    • 乘/除
    • 加/减
  • 运算过程中可先尝试将分数转换为整数

加法的交换律与结合律

  • 交换律:m+n=n+mm+n = n+m
  • 结合律:(l+m)+n=l+(m+n)(l+m)+n = l+(m+n)
  • 对于任意一族数,以任何顺序把所有数相加所得结果一致
    • a+b+c+...+k=k+a+...+c+ba+b+c+...+k = k+a+...+c+b

乘法的交换律与结合律

  • 交换律:mn=nmmn=nm
  • 结合律:(lm)n=l(mn)(lm)n=l(mn)
  • 对于任意一族数,以任何顺序把所有数想乘所得结果一致
    • {[e(fa)]d}(cb)={[(ad)(bf)]c}e=abcdef\{[e(fa)]d \}(cb) =\{[(ad)(bf)]c\}e = abcdef
  • 根据结合律可以将一个乘数分解为它的质因数的组合以简化计算
    • 2182 \cdot 18
      • 2292 \cdot 2 \cdot 9
    • 2242 \cdot 24
      • 2462 \cdot 4 \cdot 6
      • 2432^4 \cdot 3

分配律

  • m(n+l)=(mn)+(ml)m(n+l) = (mn)+(ml)
    • 一般去掉括号:m(n+l)=mn+mlm(n+l)=mn+ml
    • 乘满足交换律:(n+l)m+nm+lm(n+l)m+nm+lm
  • m(nl)=mn(ml)m(n-l) = mn-(ml)(减法同样满足分配律)
  • m(a+b+c+d)m(a+b+c+d)
    • m[(a+b)+(c+d)]m[(a+b)+(c+d)] (加法结合律)
    • m(a+b)+m(c+d)m(a+b) + m(c+d) (分配律)
    • (ma+mb)+(mc+md)(ma+mb)+(mc+md)
    • ma+mb+mc+mdma + mb + mc +md (以任何顺序相加结果一致)
  • 根据交换律,可以将一个乘数分解为它的和简化运算
    • $ x = b+c$
    • ax=a(b+c)=ab+acax = a(b+c) = ab+ac
  • 同时,也可以将一个乘数分解为它的差(同样的数)简化运算
    • x=bcx = b-c
    • ax=a(bc)=abacax = a(b-c) = ab-ac

乘法单位元

  • 任何数与 11 都相乘不变
    • 1x=x1x =x

加法单位元

  • 任何数与零相加都不变
    • 0+x=x0+x=x

加法逆元

  • 一个数与它的相反数相加时,值为 00
    • x+x=0x+-x=0

乘法逆元

  • 一个数与它的倒数相乘时,值为 11
    • 1xx=x11x=xx=1\frac{1}{x}x = \frac{x}{1} \frac{1}{x} = \frac{x}{x} =1
    • x11x=x÷x=1\frac{x}{1} \frac{1}{x} = x \div x =1

循坏小数化分数

  • 纯循坏
    • 0.A˙B˙=AB990.\dot{A}\dot{B} = \frac{AB}{99}
  • 混循环
    • 0.AB˙C˙=ABCA9900.A\dot{B}\dot{C} = \frac{ABC-A}{990}

有理数

  • 可以表示为两个数的比的数
    • Q={mn:mZ,nZ,n0}Q = \{\frac{m}{n}:m \in Z, n \in Z, n \not ={0} \}

无理数

  • 无限不循环
  • 无理数加或减无理数不一定得无理数
  • 无理数乘不等于 00 的有理数必得无理数
  • 无理数的平方根、立方根等次方根必得无理数